Vetenskap

Matematiker kommer före verkligheten

Illustration: Claudio Rocchini
Fysiker har hittat en märklig symmetri i en superkall kristall. Men matematikerna visste redan att symmetrin fanns. De går ofta före fysikernas upptäckter.

För två år sedan presenterade en grupp amerikanska matematiker en fullständig kartläggning av något som kallas för en E8 Liegrupp. Den har beskrivits som en av de största och mest komplicerade matematiska strukturer som finns. Det krävdes många veckors arbete med starka superdatorer och resultatet fyllde mer än 400.000 rader och kolumner.

För bara någon vecka sedan presenterade en grupp tyska och brittiska fysiker en kristall med en symmetri som stämmer just med en E8 Liegrupp.

Det här är ett av många exempel på när matematiska upptäckter, som kan verka fullkomligt verklighetsfrånvända, så småningom går att spåra i naturen.

– När matematiker väl har satt tänderna i ett problem så försöker de systematiskt lösa uppgiften. Deras egna frågeställningar väcker nästa fråga. Fysiker däremot brukar begränsa sina frågeställningar till den fysiska verkligheten, säger Torsten Ekedahl som är professor i matematik vid Stockholms universitet.

Mannen som först beskrev E8 var tysk, hette Wilhelm Killing och gjorde sina största bedrifter i slutet av 1880-talet. Precis som den norske matematikern Sophus Lie hade han tagit sig för att sortera geometriska former efter deras symmetri.

För att ta några enkla exempel:

I vår vanliga värld lever vi i tre dimensioner. Ett klot, med matematiskt namn en sfär, är ett tredimensionellt föremål. Du kan dra en linje som går igenom klotets centrum. Sedan kan du snurra klotet längs din linje med perfekt symmetri. Denna axel går att dra på ett oändligt antal sätt, resultatet blir ändå symmetriskt.

En pannkaka eller en dvd-skiva, däremot, kan bara rotera symmetriskt på ett enda sätt: runt en axel som går genom centrum, vinkelrätt mot själva pannkakan eller dvd-skivan.

– I tre dimensioner finns tre typer: full symmetri, symmetri kring en axel eller ingen symmetri, säger Torsten Ekedahl.

Objekt med fler än tre dimensioner är svåra för gemene man att föreställa sig. Men matematiker kan räkna på dem.

Sophus Lie klassificerade många sådana grupper med olika antal dimensioner och symmetrier. Wilhelm Killing, som inte kände till Sophus Lie utan arbetade helt oberoende, föresatte sig att hitta alla symmetrimöjligheter och hittade några som inte var kända som tidigare. De som inte passade in i tidigare kända mönster kallade matematikerna för ”exceptionella”.

Det mest exceptionella fallet var E8, som hade 248 dimensioner. Den fann Wilhelm Killing runt år 1887.

– Sedan betraktades den i många år som mycket av en kuriositet, om än en intressant sådan, säger Tors­ten Ekedahl.

På senare år har en del fysiker hoppats kunna använda E8 för att formulera något som kallas ”teorin för allting”. Det låter kanske övermaga, men det handlar om att förena gravitationen med kvantmekaniken, vilket inte går med dagens kunskaper.

Någon ”teori för allting” är det dock ingen som har lyckats få ihop ännu. Men i förra veckans nummer av tidskriften Science beskriver en grupp tyska och brittiska fysiker hur de har lyckats spåra symmetrin från E8 i superkall koboltniobat.

De frös ned koboltniobaten till nästan den absoluta nollpunkten. Då radade elektronerna i kristallen upp sig som en liten kedja av magneter, riktade åt samma håll.

Därefter utsatte forskarna kristallen för ett starkt magnetfält. Då förändrades elektronernas ”magnetism” (eller mer korrekt uttryckt, deras spinn) och det uppstod magnetiska svängningar enligt ett särskilt mönster. Just ett sådant mönster som E8 beskriver.

Torsten Ekedahl nämner ett annat exempel när en Liegrupp blev föregångare till ett fysiskt genombrott.

Det var när amerikanen Murray Gell-Mann på sextiotalet beskrev kvarkarna – de elementarpartiklar som bygger upp exempelvis protoner och neutroner.

Han talade i närmast buddistiska termer om ”den åttafaldiga vägen”. Men det han egentligen syftade på var en Liegrupp baserad på tre komplexa tal, som byggde upp åtta parametrar. Den kal­las för SU3-oktett och beskrevs av den tyske matematikern Hermann Weyl på 1920-talet.

Mönstret kunde förutsäga både att tre kvarkar skulle kunna bilda åtta olika partiklar, och även vilken massa partiklarna skulle ha.

I början trodde de flesta fysiker att kvarkar bara var en matematisk modell, men senare har storskaliga fysiklaboratorier kunna påvisa att de finns i verkligheten.

Andra gånger då matematiken varit först

1858. Dåvarande advokaten Arthur Cayley beskriver hur man multiplicerar matriser. Ingen kan vid denna tid se någon praktisk tillämpning av metoden.
1925. Den unge fysikern Werner Heisenberg presenterar början till kvantmekaniken. Andra, äldre fysiker inser snabbt att det handlar om att multiplicera matriser, och Cayleys metoder får stor betydelse både för kvantfysiken och mycket annat i 1900-talets ingenjörskonst.
 

1854. Bernhard Riemann håller ett föredrag för att installera sig som professor i matematik i Göttingen. Ämnet är att matematiska objekt i alla dimensioner kan krökas, inte bara tvådimensionella ytor.
1915. Albert Einstein publicerar sin allmänna relativitetsteori, där rumtidens krökning ersätter Isaac Newtons tidigare bild av gravitationen. Bernhard Riemanns matematik ligger till grunden.
 

1929. Hermann Weyl beskriver en åttafaldig Liegrupp kallad SU3-oktett.
1964. Murray Gell-Mann beskriver hur tre kvarkar kan bygga upp åtta elementarpartiklar och nästan hela universum.
 

1974. Roger Penrose beskriver kvasi­kristaller, regelbundna former som kan adderas i det oändliga, utan att någonsin upprepa sig helt identiskt. Det betraktades som omöjligt i naturen.
1982. Den israeliske materialforskaren Dan Shechtman upptäcker kvasikristallint mönster i en legering av aluminium och mangan. Förra året upptäcktes också naturligt bildade kvasikristaller i en bergart från Sibirien.